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Geometría espacial. Vectores II

Escrito por adrigm el 8 de noviembre de 2010 en Matemáticas | 0 Comentarios.

En la primera parte empezamos a ver vectores y vimos algunas de sus características y usos. En esta segunda parte seguiremos profundizando el tema de vectores que es uno de los más importantes de la geometría espacial.

Dependencia e independencia lineal de vectores

Varios vectores se llaman linealmente  dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. En caso contrario se dirán que son linealmente independientes. En el último apartado del artículo anterior vimos cuando un vector es combinación lineal de otro.

Base

Tres vectores linealmente indendientes en R^{3} (En el espacio) forman una base. Si los vectores básicos son perpendiculares entre sí, se dice que la base es  ortogonal. Si además los vectores tienen módulo 1, se dice que la base es ortonormal.

Cuando hemos encontrado una base, cualquier vector de R^{3} (del espacio) se puede poner como combinación lineal de los vectores básicos, es decir, si B = (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}) es una base de R^{3} y \vec{v}\in{R^{3}} (el vector v pertenece al espacio) entonces \vec{v} = v_1 \cdot \vec{e_1} + v_2 \cdot \vec{e_2} + v_3 \cdot \vec{e_3}

La terna (v_1, v_2, v_3) se denomina coordenadas cartesianas de \vec{v} respecto a la base B.

A partir de ahora tomaremos la base B = {\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}} que es la base canónica de R^3 y todas las coordenadas de vectores estarán expresadas en esa base.

Los vectores canónicos i, j y k se corresponden con los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) respectivamente. Como vemos son 3 vectores de módulo uno en la dirección de los tres ejes, por lo tanto podemos representar fácilmente cualquier vector con esa base.

\vec{v} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k} = (2, 3, 2)

que se representaría de la siguiente manera.

Operaciones con vectores cartesianamente

Anteriormente vimos como hacer operaciones con vectores gráficamente, ahora vamos a ver como hacerlas por métodos matemáticos.

sean \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) y \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) dos vectores de R^{3} entonces:

  • \vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3+ v_3)
  • \lambda \cdot \vec{u} = (\lambda \cdot u_1 ,\lambda \cdot u_2,\lambda \cdot u_3)

Determinación de un punto en el espacio

No debemos confundir punto con vector, aunque el punto y el vector tengan las mismas coordenadas como sucede en la imagen superior donde el punto P y el vector \vec{v} tienen las mismas coordenadas.

Coordenadas de un vector determinadas por dos puntos

Sean los puntos A(a_1, a_2, a_3)B(b_1, b_2, b_3) se define el vector formado por A y B como: \overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3)

Por ahora esto que no es mucho, pero al principio puede ser denso. En el próximo artículo espero terminar con vectores y ya para el próximo empezar con el espacio afín que es cuando la cosa se pone interesante.

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