Razón Artificial

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Geometría espacial. Vectores

Escrito por adrigm el 1 de noviembre de 2010 en Matemáticas | 2 Comentarios.

Este es el primero de unos cuantos artículos dirigidos a la geometría espacial. La geometría espacial está muy relacionada con los videojuegos y es esencial para el dedarrollo de juegos 3D.

A lo largo de estos artículos estaremos situados en el espacio R^{3} por los que las coordenadas de puntos y vectores serán de la forma (x, y, z).

Doy por su puesto que se conoce el concepto de punto en el espacio y que situarlo viene dado por sus 3 coordenadas. Así que pasaré directamente a los vectores.

Concepto de vector

Un vector fijo \overrightarrow{AB} es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.

Un vector tiene 3 elementos:

  • Dirección: Es la recta en la que está apoyada la flecha.
  • Sentido: Es el que viene indicado por la flecha, hacia donde va.
  • Módulo: Es la longitud del vector.

Cálculo del módulo

Para calcular el módulo del vector vamos a verlo con un ejemplo, para simplificar vamos a situarlo en el plano y no en el espacio, es decir, dos coordenadas solamente (x, y), pero se aplica el mismo principio al espacio. Tenemos el vector que tiene su origen en el punto A(2, 3) y su extremo en B(6, 6). Pues bien, trazando la distancia que hay desde A_x hasta B_x y desde A_y a B_y tenemos lo siguiente.

Con esto se nos forma un triángulo rectángulo en el que la incógnita es el buscado módulo, siguiendo el teorema de pitágoras sabemos que.

h^{2}= a^{2}+b^{2}

\left |h\right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

Las Barras de la h significan valor absoluto, quiere decir que el valor que nos de, si sale negativo, debemos cambiar el signo siempre a positivo. Esto es así porque estamos calculando un módulo que es una distancia y las distancias nunca pueden ser negativas.

Bien aplicada a nuestra ecuación, la h quedaría de la siguiente manera.

\left |h\right |=\sqrt{(B_x-A_x)^{2}+(B_y-A_y)^{2}}

Sustituyendo valores nos queda:

\left |h\right |=\sqrt{(6-2)^{2}+(6-3)^{2}}

\left |h\right |=\sqrt{16+9}

\left |h\right |=\sqrt{25}=5

Por lo tanto ya tenemos la manera de hallar el módulo de un vector, a modo simplificado solo hay que saber que el módulo equivale a la raiz cuadrada de la suma de sus coordenadas al cuadrado, pero siempre es bueno saber de donde sale la formula.

Equipolencia de los vectores

Dos vectores no nulos son equivalente si tienen igual módulo dirección y sentido.

Vectores libres

A un representante de todos los vectores equipolentes a uno dado, se le llama vector libre. Se designan por \overrightarrow{AB} o simplemente por una letra minúscula, por ejemplo \vec{u}

Operaciones con vectores

Producto de un vector por un escalar:

Suma de vectores:

Combinación lineal de vectores

Dados varios vectores \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}, \cdot\cdot\cdot, \vec{w} y varios números reales a, b, c, \cdot\cdot\cdot, t la expresión a\vec{x}+b\vec{y}+c\vec{z}+\cdot\cdot\cdot+t\vec{w} se llama combinación lineal de los vectores.

Está es la primera parte acerca de vectores, en el siguiente artículo seguiremos hablando de vectores y ya puede que en el siguiente entremos en materia más interesante.

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